Âge de la lune la veille de 1 1m "dans la journée", soit en principe entre 6h et 18h. Pour des raisons expliquées ci-contre, l'épacte est évaluée à 7h30 plutôt qu'à 12h.
- A = Z*1200 + Q*400 + C*100 + Ar;
- Ar = T*8 + U
= B*4 + N
- E1 = (-2,00*Z + 9,18*Q - 5,34*C
- 1,53*T + 10,88*U - 0,25*N)
mod 29,53 - E = Arrondi (2*E1) / 2
- R = 29,5 - E
Calcul de l'épacte milésienne
Âge de la lune, reliquat lunaire, épacte et reliquat annuel
L'âge de la lune est le nombre de jours depuis la dernière nouvelle lune: c'est une mesure caractéristique de la phase de la lune. On peut aussi définir le reliquat lunaire, qui est en quelque sorte l'opposé de l'âge de la lune: c'est le nombre de jours avant la prochaine nouvelle lune. Pour évaluer facilement l'âge de la lune à une date donnée, on utilise les caractéristiques des mois milésiens décrites dans la section 
lune. Mais on a besoin pour cela du chiffre de départ, l'âge de la lune au début de l'année, chiffre qui se décale d'environ 11 jours chaque année. Ce chiffre est appelé épacte, qui signifie décalage. En première approximation, l'épacte est l'âge de la lune juste avant le début de l'année. On associe à l'épacte le reliquat annuel, le nombre de jours séparant le début d'année de la première nouvelle lune.
Rappel du principe de calcul de l'âge lunaire d'une date dans une année donnée
La lune moyenne dure 29 jours, 12 heures, 44 minutes et 2,8 secondes. Pour estimer l'âge de la lune au cours d'une année, on peut simplifier cette durée de lunaison en 29,5 jours, soit 59 jours pour deux lunaisons. On associe à chaque date de l'année un nombre demi-entier, représentant l'âge de la lune à cette date pour une année fictive dont l'épacte serait 0. Par convention, ces nombres sont non nuls. On commence par 1 pour le 1er unème, ce qui signifie que le 1er au milieu du jour, environ un jour s'est écoulé depuis la nouvelle lune. La nouvelle lune suivante aura lieu au bout de 29,5 jours, dans la nuit du 29 au 30 unème. On associe donc 0,5 au 30 unème: au milieu de ce jour, l'âge de la lune sera d'environ une demi-journée. Le lendemain 1er secondème, l'âge sera 1,5 et ainsi de suite jusqu'au 29 secondème, ou l'âge sera 29,5: la nouvelle lune aura lieu au milieu de cette journée. Les 30 et 31 secondème auront donc pour âge 1 et 2. Le 1er tertème aura 3 pour âge lunaire, et ainsi de suite jusqu'au 1er 11m avec 11 et au 1er 12m avec 11,5. On peut aussi utiliser les reliquats lunaires avec des conventions semblables: on l'exprime en nombres demi-entiers, la somme de l'âge et du reliquat à une même date est de 29,5. Quand l'âge est 1, le reliquat est 28,5, etc.
Quand l'année ne commence pas par une nouvelle lune, pour trouver l'âge à une date donnée, il suffit d'ajouter l'épacte à l'âge conventionnel associé à la date. Si le résultat dépasse 29,5, il faut retirer 29,5 à la somme, ou alors il faut directement ôter le reliquat annuel à l'âge conventionnel. Par exemple, pour trouver l'âge de la lune le 25 1m 2016, sachant que cette année-là l'épacte est 10 et le reliquat annuel 19,5, il est plus simple de retirer 19,5 à 25. On trouve un âge de lune de 5,5.
Au bout de douze mois lunaires, les 3/4 d'heure d'avance que nous faisons prendre chaque mois à notre horloge par rapport à la lune moyenne font 9 heures, ce qui reste acceptable pour évaluer l'âge moyen à 24 heures près. Pour compenser cette avance, nous recherchons l'âge de la lune la veille du 1er unème non pas à midi, mais 4h30 plus tôt, soit à 7h30, et nous prenons comme épacte la valeur arrondie au demi-entier le plus proche.
Jusqu'au milieu du 20e siècle, le temps était défini par rapport à la durée du jour, supposée égale. En réalité, la précision des instruments actuels permet de détecter les irrégularités du mouvement terrestre. La rotation terrestre est soumise à une évolution de fond: le durée du jour augmente d'environ 2 millisecondes par siècle. De ce fait, les calculs des mouvements de lune se font dans un référentiel de temps uniforme appelé temps terrestre (TT) qui diffère légèrement de notre temps UTC, temps universel coordonné, lequel reflète de plus près le jour moyen de la Terre. La relation entre une date UTC et un instant identifié en temps terrestre est donnée par la formule:
UTC = TT - DT
L'évaluation de DT au cours des époques est un problème complexe. Il existe une formule approximative dont les valeurs mesurées de DT ne s'éloignent pas de plus d'un quart d'heure en plus ou en moins, ce qui suffit largement à nos objectifs:
DT (en secondes) = -20 + 32*v², où v = (A-1820)/100, A étant l'année étudiée.
En ce début du 21e siècle, DT vaut environ 63 s, on peut assimiler UTC à TT. Toutefois, au début de notre ère, DT vaut environ trois heures. ce qui invite à un peu de prudence.
Les deux méthodes proposées ci-dessous sont en TT. Elles restent pertinentes depuis le début de l'ère commune et pour environ 2000 ans, puisque DT ne dépasse par 3 heures. Au-delà, l'évaluation de DT peut inviter à corriger l'étude, selon ce qui est cherché.
Une première méthode pour calculer l'épacte, et même l'âge de la lune à toute date en TT, est de calculer le décalage dû au cycle lunaire à partir d'une nouvelle lune moyenne connue et d'une valeur précise de la durée de mois lunaire.
Pour ce faire on prend une date connue d'une nouvelle lune moyenne dans la période actuelle, à savoir le 16 unème 2000 à 14h 20mn 44s TT, et on calcule les autres phases lunaires en reportant la durée de lune moyenne. Cette valeur de lune moyenne doit être estimée au 1/8 de seconde près pour borner la dérive à 24h pour quelques millénaires dans le passé ou le futur. La valeur retenue est 29 jours 12 heures 44 minutes 2 secondes 7/8 secondes, soit 20_411_543 unités de 1/8 seconde.
Cette méthode peut donc être mise en oeuvre en programmation informatique, mais non par calcul de tête. La page chiffres clés par année donne un exemple de réalisation. Vous pouvez également télécharger des programmes via la section ressources.
Cette méthode est utilisable en calcul manuel ou avec une calculatrice réduite aux quatre opérations. Elle consiste à prendre comme unité le centième de jour (environ 1/4 d'heure) et à utiliser des années balises et des écarts d'épacte par groupes d'années de plus en plus fins afin de borner le dérive due à cette faible précision. Le calcul est plus précis que celui du comput ecclésiastique: il permet d'estimer la lune à n'importe quel moment de l'année, non pas seulement à l'équinoxe de printemps. Le cycle de Méton n'est pas utilisé. En revanche, la méthode tient compte de l'intercalation grégorienne (certaines années de siècle ne sont pas bissextiles), et prend notamment comme balises les années de quadrisécules, c'est-à-dire 0, 400, 800, etc.
Les chiffres clés de la méthode sont les suivants:
- Le mois lunaire dure 29,53 jours (29,53 j), à moins de 0,0006 j près et donc les écarts d'épactes sont évalués en jours à deux chiffres décimaux modulo 29,53. Faisant ainsi, il faut avoir retranché 16 fois 29,53 dans un calcul pour introduire une dérive de 0,01 j soit un quart d'heure.
- En 12 siècles, l'épacte diminue de 2,00 j à moins de 0,0006 j près. Sur 15 millénaires, soit entre les années -5000 à +10000, y compris avec l'approximation du mois lunaire de 29,53 j, cette congruence ne dérive que d'un quart d'heure. C'est moins que la dérive due au ralentissement terrestre!
- En un quadrisécule, soit 400 ans, l'épacte augmente de 9,18 j à moins de 0,003 j près. L'erreur commise en trois quadrisécules est donc bornée par 3 x 0,003 j, soit 0,01 j, un quart d'heure.
- En un siècle cave (de 36524 jours), l'épacte diminue de 5,34 j à moins de 0,00162 j près. L'erreur en trois siècles est bornée par 0,005 j soit 7 mn.
- En une octennie, soit huit années consécutives, l'épacte diminue de 1,53 j à moins de 0,001710 j près. En reproduisant 12 fois ce cycle, soit 96 ans, l'incertitude reste bornée par 0,02052 j, soit moins d'une demi-heure.
- En une année julienne (365,25 j), l'épacte augmente de 10,88 j à 0,003 j près. L'erreur commise en sept ans est inférieure à 0,021 j soit une demi-heure.
- Comme on calcule les écarts d'épacte par année julienne, il faut faire une ultime correction selon la phase julienne de l'année cible, c'est-à-dire selon le rang de l'année dans une quadriennie, ou le reste de la division par 4 de l'année: retirer 0,25 jours par valeur du rang d'année.
En résumé, on peut calculer une épacte balise pour chaque année de siècle à moins d'une demi-heure près. Pour trouver l'épacte d'une année, on commence par calculer l'épacte du début du siècle, puis l'on se rapproche de l'année par pas de huit ans, enfin on atteint l'année par pas de un. L'incertitude est d'environ une heure à l'intérieur du siècle, à ajouter à l'incertitude sur l'épacte du siècle d'une demi-heure, soit globalement une heure et demi, bien assez pour ne pas se tromper de plus d'un jour sur l'âge de la lune moyenne à chaque date.
Le repère de la méthode est pris avec l'épacte de l'année milésienne 0, arrondie à 26,42.
Puisque nous pouvons évaluer l'âge de la lune à n'importe quelle date, nous pouvons en théorie déterminer la date de Pâques. C'est le dimanche qui suit la pleine lune pascale, laquelle est celle qui arrive le 30 tertème ou immédiatement après. Recherchons donc le reliquat pascal, ou reliquat de pleine lune pascale. C'est le nombre entier de jours entre le 30 3m et le jour de la pleine lune la plus proche (en principe le 14e jour de la lunaison). Cette valeur s'obtient en déduisant l'épacte milésienne non arrondie de 12,52, ou en ajoutant le reliquat annuel à cette valeur, puis en prenant la partie entière du nombre obtenu (non pas l'arrondi). Nous avons choisi 12,52 pour minimiser l'écart de résultat par rapport à la méthode définie par la réforme grégorienne.
En pratique, on peut aussi retirer l'épacte arrondie de 12,5, ou ajouter à 12,5 le reliquat annuel arrondi, de manière à obtenir un nombre strictement inférieur à 29,5, puis prendre la partie entière du résultat. Ce nombre entier est le reliquat pascal calculé avec la méthode milésienne, c'est le quantième du jour de quartème où arrive la pleine lune pascale.
Connaissant le reliquat pascal, on réutilise le jour-clé de l'année ou clavedi, qui tombe le 30 3m, pour calculer la date de Pâques.
Cette méthode est différente de celle du comput ecclésiastique. Elle ne donne avec certitude la bonne date de Pâques que dans les conditions suivantes:
- le reliquat pascal ainsi calculé est non nul, et inférieur à 28,
- le jour de semaine de la pleine lune pascale n'est ni samedi ni dimanche.
Pour le calcul exact de la date de Pâques selon le comput ecclésiastique, selon le calendrier grégorien ou julien, et avec des formules simplifiées (4 lignes en julien, 5 lignes en grégorien), voir la pagePâques.
Pâques.Ces explications données, voici le détail de l'algorithme, avec pour exemple l'année 1879.
Toutes les sommes sont à effectuer modulo 29,53.
La première étape consiste à décomposer l'année de deux manières différentes. Les coefficients à trouver sont indiqués en gras.
A = Z*1200 + Q*400 + C*100 + Ar;
Ar = T*8 + U
= B*4 + N (dans cette dernière décomposition nous n'avons besoin que de N, qui se déduit facilement de U);
A titre d'exemple:
1879 = 1*1200 + 1*400 + 2*100 + 79 ;
79 = 9*8 + 7
= 19*4 + 3
(Rappel: le clavedi de 1879 est 5, vendredi, désigné P ci-dessous).
Balise du siècle 0 | 26,42 |
| 26,42 |
Écart d’épacte par duodécisécule | -2,00 * Z | De 0 à 1200 : -2,00 * 1 | -2,00 |
Écart par quadrisécule | +9,18 * Q | De 1200 à 1600 : +9,18 * 1 | +9,18 |
Écart par siècle cave | -5,34 * C | De 1600 à 1800 : -5,34 * 2 | -10,68 |
Écart par octennie | -1,53 * T | De 1800 à 1872 : -1,53 * 9 | -13,77 |
Écart par année de l’octennie | +10,88 * U | De 1872 à 1879 : +10,88 * 7 | +76,16 |
Correction de phase julienne | -0,25 * N | 1879 est 3 ans après 1876 : -0,25 * 3 | -0,75 |
Épacte brute E = somme des précédents modulo 29,53 ; Reliquat brut annuel R = (29,53 - E) | E = 84,56 mod 29,53 -> 25,50 ; R = 29,53-25,50 = 4,03 | ||
Arrondir E et R au plus proches demi-entiers | E -> 25,5 ; R -> 4 | ||
Rp = Reliquat pascal, jour de 4m de la PL pascale : (12,52 – E) ou (12,52 + R) puis partie entière | Rp = 12,52 + 4,03 = 16,55 -> 16 | ||
Écart pascal Ep = (34-Rp-P) mod 7 ; Dimanche pascal Dp = Rp+Ep+1 jours après 30 3m | Ep = 34-16-5 = 13 -> 6 ; Dp = 16+6+1 = 23 -> 23 4m | ||
On peut facilement suivre le cycle de l'épacte sur huit ans, plus précisément sur la partie julienne de l'épacte, qui évolue de 10,88 jours par année julienne, année de 365,25 jours. Observons d'abord que si l'épacte est 0,00 jours une certaine année, elle est de 0,00 - 1,53 jours huit ans plus tard, soit 28,00 modulo 29,53.
Or les valeurs successives de l'épacte au cours de ce cycle seront, moyennant une approximation raisonnable:
0; 11; 22; 3; 14; 25; 6; 17; 28.
Remarquez la régularité de la croissance du chiffre des unités: on ajoute 11 modulo 30.
Ces valeurs constituent une bonne approximation parce que l'écart de 0,12 entre 11 et 10,88 est partiellement compensé par l'écart entre 29,53 et 30: 0,47, à peine différent de 4 * 0,12.
Si l'on part sur un nouveau cycle à partir de 28, l'ajout de 10,88 modulo 29,53 donne 9,35, et il est préférable d'arrondir à 9,5:
28; 9,5; 20,5; 1,5, 12,5, 23,5, 4,5; 15,5; 26,5.
Les chiffres des unités continuent de montrer leur progression régulière. Et 26,5 est bien une approximation de 26,47, soit 28,00 - 1,53.
Reprenons encore le début d'un nouveau cycle. Comme précédemment on commence par franchir la barre de 29,53 cette fois à partir d'une valeur demi-entière 26,5, il faut arrondir à 8,0 plutôt que 7,5. Soit:
26,5; 8,0; 19,0; 0. Finalement, on retombe sur 0 au bout de 19 ans, conformément au cycle de Méton.
Pour étendre ce principe, on peut prendre n'importe quelle année dont on connaît l'épacte, et ajouter 11,5 plutôt que 11 modulo 30 au premier franchissement de 30, si celui-ci est en première ou seconde position dans le cycle.
Exemple:
- 21; 2,5; 13,5; 24,5; 5,5; 16,5; 27,5; 8,5; 19,5.
Ce système est approximatif, mais suffit largement pour estimer une phase lunaire à plus ou moins un jour près.
Un calendrier perpétuel
La méthode ci-dessus est résumée sur un calendrier perpétuel décrit à cette page et téléchargeable sur la page de ressources. Ce calendrier perpétuel est une simple carte 10 x 15 cm recto-verso. Nous encourageons les éditeurs d'agendas et de calendriers à l'insérer à leurs publications.